向量内积¶

我想，多数读者应该非常熟悉向量内积（点积）。 虽然我不记得具体是在什么时候学的内积了， 但我认为， 但凡经过中学数学训练过的人， 解内积这种非常简单的计算那是易如反掌。

但是，可能是时间太过久远， 也可能是当年不太专注， 也可能是当年老师确实没讲， 我对向量的定义、 性质常有疑惑之处。

如果读者和我一样， 对向量的来历、 意义、 性质有着同样的困惑， 我希望这篇文章能帮您扫清这些困惑。

向量内积的结果就是投影,可以理解为A线投影在B线的长度 与B线长度的乘积。 这个意义 不难理解。

所以，主要就是尝试以尽量直观的方式来推导（而不是证明）， 理解它为什么这么巧。

$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i = |\vec a||\vec b|cos\theta $$

如果您对这个证明过程并不陌生， 那可以直接跳过。

现在我们正式开始。

内积定义¶

不知道内积的来历，没搜到。

说到内积的定义， 或者让您求两个向量a, b的内积， 您的第一（或唯一）反应是怎么做？(目前不支持在选项里显示公式)

聪明的选择！¶

没错， 既然有简单而又正确的方法， 何乐而不为呢？

设空间内有两个向量 $\vec a = [a_1,a_2,...,a_n]$ 及 $\vec b = [b_1,b_2,...,b_n]$, 则二者的内积(点积)为（应该是大家熟知的定义了）

$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$

强行凑问题， 您猜这个是向量内积的啥定义

代数与几何定义¶

$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$

这个就是向量内积的代数定义（来自百度百科）。

我想根本不会有人选择向量取模后再乘余弦值的计算方法， 即向量内积的几何定义：

$$ \vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos\theta $$

您觉得这两个定义等价吗？ 或者说， 两个公式相等不？

为什么¶

虽然知道二者相等，但为什么相等呢？ 不好奇吗？

您知道或记得如何证明 两个定义的公式相等吗？

证明等价¶

如果您对这个证明过程并不陌生， 那本文就没什么价值了。

证前先百度¶

其实在 百度百科 上也有两个证明

如果您不打算先行看一下的话， 后面两小段应该跳过。

几何定义推导代数定义¶

个人认为，几何定义推导代数定义 这个方法依赖于内积（点乘）的分配律， 不合适， 哪怕“点乘的分配律在空间内可通过几何证明”， 但不够自然。

而且所谓从“几何定义”， 也完全没看到 cos余弦值， 只看到了坐标， 那应该是从几何属性推导代数定义。

对本文要证明的 乘余弦 = 坐标积和 没什么帮助, 忽略。

代数定义推导几何定义¶

本方法依据余弦定理， 将向量a, b看成是两条边, 之间夹角为 $\theta$， 第三边 设为 c=a-b， 则有

$$ |\vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b|cos\theta $$

$|\vec a||\vec b|cos\theta$整块保留， 其他部分移到等号另一边， 则有:

$$ |\vec a||\vec b|cos\theta = \frac{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - |\vec c|^2}{2} $$

最后代入距离公式, 推导过程如下：

$$ \begin{aligned} |\vec a||\vec b|cos\theta & = \frac{\sum a_i^2 + \sum b_i^2 - \sum (a_i-b_i)^2}{2} \ 展开抵消 & = \sum a_ib_i \end{aligned} $$

即可证得。

这个证明是对的， 可你有没有觉得哪里有问题？

直面余弦¶

真正的勇士敢于直面惨淡的人生,敢于正视淋漓的鲜血。 -- 鲁迅

所以， 上面的证明用了现成的余弦定理， 又一次完美地避开了余弦值与向量坐标积之和的关系。

当然， 这可能在余弦定理的证明时有讲过——然而 没记错的话， 讲余弦定理时是三角形的内容， 没有用到向量形式来着？

那绕了半天， 夹角的余弦值跟向量内积的关系 还是一个定义或一种巧合喽？

是否有切实相关的证明方法呢？

让我们来试试。

新的推导¶

还是向量a和b, 为简单，仅考虑二维平面， a和b 的夹角还是 theta。我们直接从目标考虑

$$ \sum_{i=1}^n a_ib_i = |\vec a||\vec b|cos\theta $$

你觉得应该从哪边开始推导？

为什么¶

您为什么选择从右到左—— 一个人开发这网站不说， 我还要学新知识， 写这种教程（包括旧知识）， 知识水平也不够， 所以无法提供更高的自由度~~~

又比如这里我很想用填空题形式， 让您写写您的想法的——为什么从右到左， 如何处理 。 我觉得都能体现原则、 思路、 直观。 总结可以得出解题、 证明甚至探索的一般思路。

解释¶

首先， 左边太简单了（右边复杂得多）， 最直观的相乘， 然后求和， 想做个变形、 变换都无从下手。 学之前的证明方法， 强行构建一个 $|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - |\vec c|^2$ 吗？

反正我觉得 能构建（构造）出一些常人想不到的东西 就是种很强的能力， 构造出函数、 前提、 条件的都是很厉害的数学家， 比如魏尔斯特拉斯构造出的处处连续处处不可导函数。

构造（构建）法对直觉和基础要求都高， 教学中不太可取， 逼人去构造是种锻炼方法， 但直接说构造了个啥可利用， 就有点空中楼阁了。

右边计算也更复杂， 另外， 计算基本上帮不上证明\推导多少忙~~~

变谁¶

解释完了， 我们看到目前状态为：

已知 向量a和b, a和b 的夹角是 theta

处理对象是$|\vec a||\vec b|cos\theta$ 这么复杂的式子

肯定是要变形了， 这废话。

夹角替换¶

设:在二维平面上， 向量a 与 x轴的角度为 $\alpha$, 向量b 与x轴的角度为 $\beta$ , 两个向量间的夹角是 $\theta$ (忽略谁大谁小问题)

所以将 $\theta = \alpha - \beta $ 代入原式。

这下就明显了， 余弦、 减法， 就展开： $$ \begin{aligned} |\vec a||\vec b|cos\theta & = |\vec a||\vec b|cos(\alpha-\beta) \ & = |\vec a||\vec b|(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) \ & = |\vec a||\vec b|cos\alpha cos\beta + |\vec a||\vec b|sin\alpha sin\beta \end{aligned} $$

有没有看出什么来？ 后面的步骤应该很明显了, 向量乘以它与X轴夹角的余弦值，得向量 的x轴坐标， 乘以正弦值得y轴坐标， 所以是x坐标相乘 + y坐标相乘。

关键是总结下， 这里体现了什么。

证明方法总结¶

当然， 这个方法里用到了 差角余弦公式 cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b), 也 没给出证明\推导过程。

但我个人认为这里已经明确到了 向量和它自己与坐标轴之间夹角的关系， 而之前的证明则是避开了 角与边、 坐标的统一， 就等于这两块之间少了一重关联、 关系， 缺少了一种统一的、 更高的认识。

最后总结下， 虽然都根据 几何定义来解释 向量内积的几何意义， 但从这个推导过程中， 我们可以更清楚地看到 投影映射 与 坐标乘积之和 的关系。

也就是说, 向量内积的常规式就是差角余弦公式的自然结果, 如果要问 差角余弦公式 为 什么得这个结果， 有什么意义， 这个我也忘了~~~有时间又补一下。

恭喜¶

恭喜您看完了我啰嗦的文章， 一家之言， 可能会有很多疏漏与错误。

风格上， 尽量地文章划分成小段——希望有人喜欢。 能够长篇大论、 写出大部头著作的作者们水平不知道比我高到哪里去了。

而且这样简单的一个内容， 严格说来， 也算写得蛮长的了。