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向量内积
我想,多数读者应该非常熟悉向量内积(点积)。 虽然我不记得具体是在什么时候学的内积了, 但我认为, 但凡经过中学数学训练过的人, 解内积这种非常简单的计算那是易如反掌。
但是,可能是时间太过久远, 也可能是当年不太专注, 也可能是当年老师确实没讲, 我对向量的定义、 性质常有疑惑之处。
如果读者和我一样, 对向量的来历、 意义、 性质有着同样的困惑, 我希望这篇文章能帮您扫清这些困惑。
向量内积的结果就是投影,可以理解为A线投影在B线的长度 与B线长度的乘积。 这个意义 不难理解。
所以,主要就是尝试以尽量直观的方式来推导(而不是证明), 理解它为什么这么巧。
$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i = |\vec a||\vec b|cos\theta $$
如果您对这个证明过程并不陌生, 那可以直接跳过。
现在我们正式开始。
内积定义
不知道内积的来历,没搜到。
说到内积的定义, 或者让您求两个向量a, b的内积, 您的第一(或唯一)反应是怎么做?(目前不支持在选项里显示公式)
{%radio|&$||a||||b||cos(\theta)$&$\sum a_ib_i$&不记得了&没听说过向量内积@$\sum a_ib_i$#呃%}
聪明的选择!
没错, 既然有简单而又正确的方法, 何乐而不为呢?
设空间内有两个向量 $\vec a = [a_1,a_2,...,a_n]$ 及 $\vec b = [b_1,b_2,...,b_n]$, 则二者的内积(点积)为(应该是大家熟知的定义了)
$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$
强行凑问题, 您猜这个是向量内积的啥定义
{%radio|&代数定义&几何定义@代数定义#我也只是百度来的%}
代数与几何定义
$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$
这个就是向量内积的代数定义(来自百度百科)。
我想根本不会有人选择向量取模后再乘余弦值的计算方法, 即向量内积的几何定义:
$$ \vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos\theta $$
您觉得这两个定义等价吗? 或者说, 两个公式相等不?
{%radio|&不相等&看不出来&相等@相等#其实是废话%}
为什么
虽然知道二者相等,但为什么相等呢? 不好奇吗?
您知道或记得如何证明 两个定义的公式相等吗?
{%radio|&不知道或不记得&知道&记得&太熟悉了@不知道或不记得#知道的就不用指望我了%}
证明等价
如果您对这个证明过程并不陌生, 那本文就没什么价值了。
证前先百度
其实在 百度百科 上也有两个证明
如果您不打算先行看一下的话, 后面两小段应该跳过。
几何定义推导代数定义
个人认为,几何定义推导代数定义 这个方法依赖于内积(点乘)的分配律, 不合适, 哪怕“点乘的分配律在空间内可通过几何证明”, 但不够自然。
而且所谓从“几何定义”, 也完全没看到 cos余弦值, 只看到了坐标, 那应该是从几何属性推导代数定义。
对本文要证明的 乘余弦 = 坐标积和 没什么帮助, 忽略。
代数定义推导几何定义
本方法依据余弦定理, 将向量a, b看成是两条边, 之间夹角为 $\theta$, 第三边 设为 c=a-b, 则有
$$ |\vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b|cos\theta $$
$|\vec a||\vec b|cos\theta$整块保留, 其他部分移到等号另一边, 则有:
$$ |\vec a||\vec b|cos\theta = \frac{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - |\vec c|^2}{2} $$
最后代入距离公式, 推导过程如下:
$$ \begin{aligned} |\vec a||\vec b|cos\theta & = \frac{\sum a_i^2 + \sum b_i^2 - \sum (a_i-b_i)^2}{2} \ 展开抵消 & = \sum a_ib_i \end{aligned} $$
即可证得。
这个证明是对的, 可你有没有觉得哪里有问题?
{%radio|&证明是对的,就没有不对&无所谓&避开余弦&无法反向推导&依赖于余弦定理@依赖于余弦定理#多想想,我的问题和您的疑惑很可能不同%}
直面余弦
真正的勇士敢于直面惨淡的人生,敢于正视淋漓的鲜血。 -- 鲁迅
所以, 上面的证明用了现成的余弦定理, 又一次完美地避开了余弦值与向量坐标积之和的关系。
当然, 这可能在余弦定理的证明时有讲过——然而 没记错的话, 讲余弦定理时是三角形的内容, 没有用到向量形式来着?
那绕了半天, 夹角的余弦值跟向量内积的关系 还是一个定义或一种巧合喽?
是否有切实相关的证明方法呢?
让我们来试试。
新的推导
还是向量a和b, 为简单,仅考虑二维平面, a和b 的夹角还是 theta。我们直接从目标考虑
$$ \sum_{i=1}^n a_ib_i = |\vec a||\vec b|cos\theta $$
你觉得应该从哪边开始推导?
{%radio|&从左到右&从右到左&甜的&咸的&辣的@从右到左#我只想到从右到左,您有从左到右的想法,欢迎提出!%}
为什么
您为什么选择从右到左—— 一个人开发这网站不说, 我还要学新知识, 写这种教程(包括旧知识), 知识水平也不够, 所以无法提供更高的自由度~~~
又比如这里我很想用填空题形式, 让您写写您的想法的——为什么从右到左, 如何处理 。 我觉得都能体现原则、 思路、 直观。 总结可以得出解题、 证明甚至探索的一般思路。
{%radio|&右边好变换&右边好构造&右边好计算&右边好简单&右边好顺眼@右边好变换#顺 眼也不一定错,万一数学直觉厉害呢#构造:构造法很考验直觉和思维锻炼,多数人只会马后炮%}
解释
首先, 左边太简单了(右边复杂得多), 最直观的相乘, 然后求和, 想做个变形、 变换都无从下手。 学之前的证明方法, 强行构建一个 $|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - |\vec c|^2$ 吗?
反正我觉得 能构建(构造)出一些常人想不到的东西 就是种很强的能力, 构造出函数、 前提、 条件的都是很厉害的数学家, 比如魏尔斯特拉斯构造出的处处连续处处不可导函数。
构造(构建)法对直觉和基础要求都高, 教学中不太可取, 逼人去构造是种锻炼方法, 但直接说构造了个啥可利用, 就有点空中楼阁了。
右边计算也更复杂, 另外, 计算基本上帮不上证明\推导多少忙~~~
变谁
解释完了, 我们看到目前状态为:
已知 向量a和b, a和b 的夹角是 theta
处理对象是$|\vec a||\vec b|cos\theta$ 这么复杂的式子
肯定是要变形了, 这废话。
{%radio|但是把谁变掉?&a和b的模&余弦值&角度theta&看提示@角度theta#模:从欧几里得几何开始讨论?#利用更多已知条件,还有啥条件不?%}
夹角替换
设:在二维平面上, 向量a 与 x轴的角度为 $\alpha$, 向量b 与x轴的角度为 $\beta$ , 两个向量间的夹角是 $\theta$ (忽略谁大谁小问题)
所以将 $\theta = \alpha - \beta $ 代入原式。
这下就明显了, 余弦、 减法, 就展开: $$ \begin{aligned} |\vec a||\vec b|cos\theta & = |\vec a||\vec b|cos(\alpha-\beta) \ & = |\vec a||\vec b|(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) \ & = |\vec a||\vec b|cos\alpha cos\beta + |\vec a||\vec b|sin\alpha sin\beta \end{aligned} $$
有没有看出什么来? 后面的步骤应该很明显了, 向量乘以它与X轴夹角的余弦值,得向量 的x轴坐标, 乘以正弦值得y轴坐标, 所以是x坐标相乘 + y坐标相乘。
关键是总结下, 这里体现了什么。
证明方法总结
当然, 这个方法里用到了 差角余弦公式 cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b), 也 没给出证明\推导过程。
但我个人认为这里已经明确到了 向量和它自己与坐标轴之间夹角的关系, 而之前的证明则是避开了 角与边、 坐标的统一, 就等于这两块之间少了一重关联、 关系, 缺少了一种统一的、 更高的认识。
最后总结下, 虽然都根据 几何定义来解释 向量内积的几何意义, 但从这个推导过程中, 我们可以更清楚地看到 投影映射 与 坐标乘积之和 的关系。
也就是说, 向量内积的常规式就是差角余弦公式的自然结果, 如果要问 差角余弦公式 为 什么得这个结果, 有什么意义, 这个我也忘了~~~有时间又补一下。
恭喜
恭喜您看完了我啰嗦的文章, 一家之言, 可能会有很多疏漏与错误。
风格上, 尽量地文章划分成小段——希望有人喜欢。 能够长篇大论、 写出大部头著作的作者们水平不知道比我高到哪里去了。
而且这样简单的一个内容, 严格说来, 也算写得蛮长的了。